Если бм через суд выпишет меня, а по реш суда при разводе ребёнок живёт со мной

Насколько я понял из вопроса, вы уже не проживаете с бм и не собираетесь, по-видимому. т. е. речь идет не проживании фактическом, а только о прописке, или, что правильнее, о регистрации.
таким образом, если дело дойдет до суда, речь будет не о лишении права пользоваться жильем (выселении), а об отмене регистрации.
смена названия была произведена именно для того, чтобы подчеркнуть, что регистрация не является таким священным атрибутом жизни, как в советское время, а просто подтверждает факт проживания гражданина. нет факта - нет регистрации, а доказать это несложно. но даже если вы не признаете факт вашего отъезда, выселить он вас сможет по закону, как бывшего члена семьи.
другое дело ребенок. он не является бывшим членом семьи, и пока он несовершеннолетний, выселить его принудительно нельзя. но тогда он и проживать должен. если не проживает, значит его другой родитель сносным жильем обеспечил, не важно на каких правах.
и потом, какое значение "прописка" имеет для ребенка, у которого и паспорта-то нет? подразумевается, что ребенок проживает с родителем, и все. в большинстве случаев она взрослому нужна, то есть вам.
права на саму собственность она не дает.