Подскажите как будет называться договор и кем будут являться по отношению друг к другу стороны?

1. договор с интернет-провайдером- это договор на предоставление услуг связи.
2. договор с соседом- это незаконно, т. к. требуется лицензия (кроме случаев, когда провайдер в договоре разрешает вашему соседу "раздавать интернет"). обойти можно путем заключения договора аренды автоматизированного рабочего места (арм) и офисного оборудования (вы арендуете у соседа компьютер по документам).