Обязательно ли оплачивать своей картой гос. пошлину через госуслуги?

Не обязательно. главное-указать, кто плательщик (не владелец карты, а, так сказать, владелец платежа), и обязательно сохранить на руках квитанцию об оплате, где опять же вы будете стоять в качестве плательщика.
например, я владею машиной, на которой иногда ездит мой отец. если приходят штрафы, то оплачивает их он, хотя, как плательщик, стою я.