Если наследник не платит за свою часть квартиры коммунальные услуги может ли первый наследник выкупить эту часть?

Можете получить только если он сам этого захочет.
вы можете определить порядок оплаты услуг жкх и платить согласно своей доле в данном имуществе.

свидетельство о праве на наследство – это документ, удостоверяющий права наследника на имущество. он свое право реализовал, а вот когда он его зарегистрирует это уже его дело.
гк рф ст. 1152, ч. 4: принятое наследство признается принадлежащим наследнику со дня открытия наследства независимо от времени его фактического принятия, а также независимо от момента государственной регистрации права.