Можно ли устроиться в детский сад(не частный) по договору подряда?

В соответствии со ст. 702 ГК РФ, это договор, согласно которому подрядчик обязуется выполнить (подряжается на выполнение) по заданию заказчика определенную работу и сдать ее результат заказчику, а заказчик обязуется принять результат работы и оплатить его. В вашем случае уместнее заключить договор возмездного оказания услуг (ст.779 ГК РФ), согласно которому исполнитель обязуется по заданию заказчика оказать услуги (совершить определенные действия или осуществить определенную деятельность), а заказчик обязуется оплатить эти услуги. А еще лучше заключить трудовой договор.