На меня подали в суд, я нанял адвоката и суд выиграл, оплатит ли мне та сторона мои расходы на защиту?

Не надо ни встречного, ни нового иска. Если решение вступило в силу - пишите заявление(ходатайство) с просьбой возместить Вам судебные расходы на оплату услуг адвоката, прикладывайте квитанцию об оплате (или что у Вас там) и предъявляете в тот же суд. Важный нюанс: в соответствии с Пленумом Верховного суда (не помню реквизиты, если критично- найду), если другая сторона, в Вашем случае - истец, не представит в суд возражений по поводу размера оплаты адвоката(например, не явится в судебное заседание, в котором будет этот вопрос рассматриваться), то суд по своему усмотрению НЕ ВПРАВЕ УМЕНЬШИТЬ ПОДТВЕРЖДЕННУЮ И ОПЛАЧЕННУЮ ВАМИ СУММУ. Если же будет возражать- взыщет по своему усмотрению, обжаловать бесполезно.