Могут ли работающему сотруднику отдать трудовую книжку на руки по заявлению?

Не могут. В соответствии со ст. 62 ТК РФ и п. 7 Правил ведения и хранения трудовых книжек, утвержденных Постановлением Правительства РФ от 16.04.2003 N 225, по письменному заявлению работника работодатель обязан не позднее трех дней со дня подачи заявления безвозмездно выдать работнику копии документов, связанных с работой, или заверенную в установленном порядке выписку из трудовой книжки.