Может ли гос учреждение заключать договор на оказание услуг с физ. лицом и ежегодно его переоформлять

Можете. Но закон предоставляет работнику возможность обращения в суд, где может быть установлено, что договором возмездного оказания услуг фактически регулируются трудовые отношения между работником и работодателем, будет выяснена действительная общая воля сторон на фактическое возникновение трудовых, а не гражданско-правовых отношений с учетом цели договора, а также установлены конкретные обстоятельства, подтверждающие трудовой характер правоотношений работника и работодателя. На основании ч. 4 ст. 11 ТК РФ в тех случаях, когда судом установлено, что договором гражданско-правового характера фактически регулируются трудовые отношения между работником и работодателем, к таким отношениям применяются положения трудового законодательства и иных актов, содержащих нормы трудового права.