Существует ли авторское право или что-то вроде того на собственное лицо (изображение лица)?

Это не авторское право, а нематериальное благо, охраняемое законом.

тут все случаи, когда можно и когда нельзя:

статья 152.1. охрана изображения гражданина (гк рф)
1. обнародование и дальнейшее использование изображения гражданина (в том числе его фотографии, а также видеозаписи или произведения изобразительного искусства, в которых он изображен) допускаются только с согласия этого гражданина. после смерти гражданина его изображение может использоваться только с согласия детей и пережившего супруга, а при их отсутствии - с согласия родителей. такое согласие не требуется в случаях, когда:
1) использование изображения осуществляется в государственных, общественных или иных публичных интересах;
2) изображение гражданина получено при съемке, которая проводится в местах, открытых для свободного посещения, или на публичных мероприятиях (собраниях, съездах, конференциях, концертах, представлениях, спортивных соревнованиях и подобных мероприятиях), за исключением случаев, когда такое изображение является основным объектом использования;
3) гражданин позировал за плату.
2. изготовленные в целях введения в гражданский оборот, а также находящиеся в обороте экземпляры материальных носителей, содержащих изображение гражданина, полученное или используемое с нарушением пункта 1 настоящей статьи, подлежат на основании судебного решения изъятию из оборота и уничтожению без какой бы то ни было компенсации.
3. если изображение гражданина, полученное или используемое с нарушением пункта 1 настоящей статьи, распространено в сети "интернет", гражданин вправе требовать удаления этого изображения, а также пресечения или запрещения дальнейшего его распространения.