Суд присудил выплату морального вреда, в какие сроки это должно произойти? конкретно, пожалуйста!

Само по себе ничего не произойдет. Во-первых, решение должно вступить в законную силу. Если ответчик его обжалует, то решение вступит в силу только после рассмотрения кассационной жалобы. Далее, Вы должны в суде получить исполнительный лист на принудительное взыскание. С этим исполнительным листом Вам нужно будет обратиться в службу судебных приставов, которые должны будут заниматься непосредственно взысканием денег с должника. Либо, если Вам известно, в каком банке у должника есть счет (вклад), либо где работает должник, либо где он получает пенсию, то Вы можете обратиться с заявлением непосредственно в этот банк, либо по месту работы, либо в отделение ПФР и приложить исполнительный лист. Только берите обязательно отметку на копии заявления, когда будете его подавать. И заявление должно быть составлено с соблюдением обязательных требований и указанием всех необходимых данных, указанных в законе. Обратитесь к юристу, который Вам поможет правильно его составить.